ARCH

출처 : https://blog.naver.com/wujuchoi

1. 배경
   - AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity(자기회귀 조건부 이분산성)
   - 잔차, 백색잡음, 오류, innovation 주1 가 시계열에서 특정시점을 기준으로 이전 시점과 차이로 정의되고, 동일의미이며, 잔차(residual)라고 부르자.
   - 백색잡음의 분산으로 변동성을 표현하는 식
   - In 1982, Robert Engle에 의하며 발표되었다.

2. 의미
   - 특정시점의 값을 Xt라하면, 
   - Xt = sigma(편차) * Zt로 표현 가능, Zt는 N(0,1)를 따르는 분포이다.
   - Xt, Zt는 백색잡음(잔차)이나 동일하지 않다.
   - 파악하기) Xt는 N(0,1)을 따르는 분포의 편차 배로 표현해도 된다(가능하다)
   - 그러면, 백색잡음(잔차)의 분산을 sigma^2으로 표현하면,
     AR의 표기법처럼
   - sigma^2 = a0 + sum(ai * (Xt-i)^2), i=0부터 q까지
     로 표현가능하다.

3. 이해하는 과정
   - 식을 표현하는 과정에서, N(0,1)이라는 분포를 사용하는 점.
   - 분산을 AR  선형방정식으로부터 유도하지 않고,
     계수를 변경하여 비슷한 선형방정식으로 표현한다.
   - 만약 가정 중 Xt = sigma(편차) * Zt에서,
     sigma의 의미가 변동폭을 나타냄으로 sigma가 특정시점에
     커지면, 어떤 사건이 발생했다고 봐도 된다.

4. GARCH는?
   - ARCH 보완으로 
   - ARCH 선형방식에 분산을 추가하는 선형방정식을 만들어서 일반화하였다.

백색잡음

출처 : https://blog.naver.com/wujuchoi

1. 배경 
   : 시계열분석에서 정상시계열로 분석하는 과정에 필요한 과정 중 필요 요소 
   : 실 세계의 시계열 정보는 비정상시계열이므로 이를 정상시계열로 변경이 필요 

2. 의미 
   : 시계열 중 기준시점을 지정하고, 기준시점 이전과의 차이를 잡음이라고 한다. 
   : 예를 들면, 기준시점 값이 100이고, 기준시점 -1의 값이 95일때, 
     백색 잡음은 100 - 95 = 5가 된다. 
   : 시계열분석을 위해서 이 잡음을 확률변수가 I.I.D(Independently and Identically Distributed)를  
     따르면 백색잡음이라고 한다. 
   : 잡음을 I.I.D를 따르는 확률변수(백색잡음)로 과정을 정상화과정이라고 한다. 
   : 회귀분석에서 사용되는 잔차(Residual) 의미와 유사하다. 

3. lag(시차지연) 
   : 시계열분석을 위하여 백색잡음을 찾아가는 과정에 사용되는 요소 
   : 잡음을 정하기 위해서 lag를 1, 2, 3, ...들로 정할 수 있다. 

4. AR(AutoRegression) 이란  주1 
   : 기준일 값은 이전값들의 선형결합으로 구성된다고 가정 
   : 현재값 = sum(이전값i * 가중치i) + 잡음 (여기서 i=1 부터 p까지, p는 lag수, 기간 ) 

5. MA(Moving Average) 이란 주1 
   : 기준일 값은 이전값들과의 차이인 잡음들과의 선형결합으로 구성된다는 가정 
   : 현재값 = sum(잡음i * 가중치i) + 평균 (여기서 i=1 부터 p까지, p는 lag수, 기간 ) 

*IID(independent and identically distributed)
동전을 네 번 던지는 실험을 생각해보죠..
동전을 네 번 던지는 실험에서 매 던질 때 마다 관측되는 면을 나타내는 확률변수를 X1, X2, X3, X4  라고 하고, 앞면이 나오면 1, 뒷면이 나오면 0이라고 생각할 수 있습니다.
즉,  X1,X2, X3,X4 는 각각 독립적으로 값이 발생할 수 있으며, 각각 1이 나올 (즉, 동전이  앞면이 나올) 확률이 0.5, 0이 나올 (즉,  뒷면이 나올) 확률은 0.5로서 다 같습니다. 이런 의미에서  X1,X2, X3,X4 은 독립적이고 동일한 분포를 따른다고 할 수 있습니다 .

또 다른 실험을 생각하겠습니다.
1번부터 45번까지의공이 들어있는 상자에서 공을 다섯번 복원으로 뽑는다고 생각해보죠.
즉, 한 번 보고 다시 상자안에 넣는 경우입니다.
이럴 때, 각 뽑힌 공의 숫자를  X1, X2,X3, X4, X5  라고 하면,
제일 처음 나온 숫자가 다음 뽑힐 숫자에 영향을 주지 않습니다.
즉, X1,X2,X3,X4, X5 는 서로 독립이라고 할 수 있습니다.
그리고 처음 뽑히는 숫자 X1의 분포는 1부터 45까지 균일하게 1/45의 확률로 뽑힐 수 있습니다. 마찬가지로 두번째 뽑히는 숫자 X2도 X1과 상관없이 1부터 45까지 균일하게 1/45의 확률로 뽑힐 수 있습니다. 세번째,네번째, 다섯번째도 마찬가지입니다.
즉,  X1,X2,X3,X4, X5 각각 균일하게 1/45의 확률로 뽑히므로 동일한 분포를 가집니다.
결국 ,  X1,X2,X3,X4, X5 는 서로 독립이고 동일한 분포를 가지는 확률변수가 됩니다.

To set mac bash theme

http://www.marinamele.com/2014/05/customize-colors-of-your-terminal-in-mac-os-x.html

#PS1='[\u@\h \W]\$'  # Default

PS1='\[\e[1;32m\][\u@\h \W]\$\[\e[0m\]'

export CLICOLOR=1

export LSCOLORS=GxFxCxDxBxegedabagaced

alias ll='ls -l'

alias la='ls -al'

conda vscode 연동 설정

1. 명령 팔레트 선택

2. 아래 명령어 입력

3. 아나콘다 경로의 파이썬을 선택 

Conda python path 설정

1. vi .zshrc (OR vi .bash_profile)

2. export PATH="/Users/jaehoojeon/anaconda3/bin:$PATH" 입력

3. esc

4. wq

5. source .zshrc (OR source .bash_profile)

vscode 한글 설정

1. shift + cmd + x : 확장 프로그램 검색 실행
2. "korean" 입력 후 검색
3. 맨위 언어 확장팩 설치
4. 우측 하단 "restart" 클릭
5. 짜잔~

이계도함수(d^2/dx^2) 의 의미.

출처

http://cluster1.cafe.daum.net/_c21_/bbs_search_read?grpid=HL9t&fldid=5WW8&contentval=0000azzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz&nenc=&fenc=&q=%C0%CC%B0%E8%B5%B5&nil_profile=cafetop&nil_menu=sch_updw

우리가 흔히 평균변화율을 이를 때 Δx/Δy 로 표현을 합니다.
그리고 "x 의 증가량 분의 y 의 증가량" 이라고 말을 하지요.

증가량= 거리, = distance..

중학교 때부터 x 의 거리와 y 의 거리값의 비율을 구하여, 이것을 "기울기" 라는 표준화된 숫자로 "기울어진 정도" 를 표현해 왔습니다. 그리고 이것은 물리학적으로 표현하자면, "평균적인 변화율", 또는 "등속 운동으로 보았을때의 속도" 정도가 되겠네요.

그런데, 이것은 사실 EXTRA 에 불과한것이고..

사실상 더 중요한것은, 한 점(또는 순간)에서의 속도/증가율이라는것이죠. 자동차의 속도계를 볼 때 나타나는 속도는 분명히 그 순간의 속도입니다. 자동차의 속도계가 만약 평균적인 속도를 나타낸다면, 대단히 답답할 것입니다..

하여튼.. 이러한 이유로 인하여 미분을 정의하게 되고..
미분이라는것도 결국은 "평균 변화율" 의 극한값이 되는셈인데요..

Δx/Δy 를 dy/dx 로 표현한것에 불과합니다.
(d 가 아마 distance 가 아닐까 생각되네요..)

그런데, 이 dy/dx 는 이중,삼중적인 의미를 가지게 됩니다..

첫번째 의미는,

dy/dx.. 말 그대로 "y의 순간증가율/x 의 순간 증가율" 이라는것이고..

두번째 의미는,
"x 에 관하여 y 를 미분하라" 는 뜻이 됩니다.

첫번째 의미에서, dy/dx 는 "사실상 나눗셈" 과 같은 연산을 시행할 수 있게 되구요.. (그러나  극한이기 때문에 함부러 나눌 수는 없지요..)

두번째 의미에서, 아래와 같이 변형이 가능하게 됩니다..

dy       d
-- =   --   y
dx      dx

즉, x 에 관하여 y 를 미분하라는 뜻이 강하게 표현된거죠..

이제, 그럼 이계도 함수를 구해 볼까요.

이계도 함수는, dy/dx 를 다시 미분하는겁니다..

그렇다면, 이번에는 "x 의 증가량분에 dy/dx 의 증가량" 이 되고요..

이것을 기호로 표시하면,

d (dy/dx)
-------     
   dx   

이렇게 되죠.. 이것을 첫번째 의미를 이용하여 좀 변형해 보면,

d (dy)
----
(dx)^2

이렇게 되고,

이것이 우리가 흔히 배우는..

d^2y
----
dx^2

이런식으로 변형이 된겁니다.

아래 분자는 당연히 (dx)^2 이라고 써야 하지만.. 귀찮으니까

그냥 dx^2 이라고 표현을 하죠..

그러고서는 .. 저건 기호이지, 분수가 절대 아니다..

이런식으로 얘기하게 되죠.. (사실상 분수 계산을 해 놓고선!!!)

만약 저기서 미분해야 될 y 부분이 복잡해지면..

이를테면, y=x^3+1 이다.. 라고 할 때 이계도 함수를 표현하면

d^2 (x^3+1)                            d^2
----                               =    ----  (x^3+1)
dx^2                                      dx^2

위와 같이 표현하게 되죠..

미분의 기호는 참 멋집니다.. 생각하면 할 수록 멋진 기호죠..

그리고 적분 기호도 살펴보면 볼수록 대단한 의미의 함축이 되어 있다고 볼 수 있습니다..

라이프니츠의 이러한 기호학은 미적분학의 발전을 몇백년 앞당겼다고 해도 과언이 아닐것입니다. 우리가 고교에서 미적분학을 쉽게 배울 수 있는것도,알고보면 다 라이프니츠 덕분이 아닐까요...